Lien entre l'Arithmétique des Zéros de Ghirardini et l'Arithmétique Cardinale de Cantor

 

La théorie de Ghirardini, développée entre 1971 et 1999, établit une symétrie formelle profonde entre sa hiérarchie des zéros (mesurant le "trop petit" via la capacité d'annulation) et la hiérarchie des infinis de Cantor (mesurant le "trop grand" via la taille des ensembles). Cette symétrie s'étend à l'arithmétique : les opérations sur les zéros indexés

$\zeta(E)$$E$$|E|$

1. Symétrie Structurelle Globale

• Cantor : Les cardinaux classent les ensembles par taille, avec une hiérarchie 
  $\aleph_0 < \aleph_1 < \dots$$|\mathbb{N}| = \aleph_0$$|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$
• Ghirardini : Les zéros classent les ensembles par "puissance d'annulation", avec une hiérarchie 
  $\zeta_0 \preceq_G \zeta_1 \preceq_G \dots$$\zeta(\mathbb{N}) \preceq_G \zeta(\mathbb{R})$$E \subseteq F$
• Lien : L'ordre ghirardinien 
  $\preceq_G$$E \subseteq F$$\leq$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$\zeta(\mathbb{N}) \preceq_G \zeta(\mathbb{Z}) \preceq_G \zeta(\mathbb{Q}) \preceq_G \zeta(\mathbb{R})$$\aleph_0$

Cette dualité s'exprime via le "cardinal double" :

• Infini actuel (ensemble existant) 
  $\leftrightarrow$
• Infini potentiel (non épuisable) 
  $\leftrightarrow$

2. Définitions des Opérations et Parallélismes Directs

L'arithmétique des zéros est "parallèle" à celle des cardinaux, mais focalisée sur l'action (annulation) plutôt que la quantité. Les opérations préservent des propriétés comme la commutativité, l'associativité et l'idempotence pour l'addition.

Opération	Arithmétique Cardinale (Cantor)	Arithmétique des Zéros (Ghirardini)	Lien et Explications
Addition	$\|E\| + \|F\| = \|E \sqcup F\|$ (union disjointe ; pour infinis, absorbe le plus petit, e.g., $\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$).	$\zeta(E) \oplus \zeta(F) = \zeta(E \cup F)$ (union ; absorbe le zéro "plus petit", e.g., $\zeta(\mathbb{N}) \oplus \zeta(\mathbb{R}) = \zeta(\mathbb{R})$).	Identique structurellement : union domine. Mesure la combinaison de domaines (taille vs. annulation). Idempotente : $\|E\| + \|E\| = \|E\|$ et $\zeta(E) \oplus \zeta(E) = \zeta(E)$.
Produit	$\|E\| \cdot \|F\| = \|E \times F\|$ (produit cartésien ; e.g., $\aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0$).	$\zeta(E) \otimes \zeta(F) = \zeta(E \times F)$ (e.g., $\zeta(\mathbb{Z}) \otimes \zeta(\mathbb{Q}) = \zeta(\mathbb{Z} \times \mathbb{Q})$).	Miroir exact : combine structures via produit cartésien. Pour infinis dénombrables, préserve le "niveau" comme en cardinaux.
Exponentiation	$\|E\|^{\|F\|} = \|E^F\|$ (fonctions de $F$ vers $E$ ; e.g., $2^{\aleph_0} =	\mathbb{R}	$).

• Extension Transfinie : Les deux s'étendent aux ordinaux 
  $\alpha$$\aleph_\alpha$$\zeta_\alpha = \zeta(E_\alpha)$$E_\alpha$$\zeta_\omega = \zeta(\bigcup_{n < \omega} E_n)$$\aleph_\omega$

3. Implications et Originalité du Lien

Cette arithmétique ne viole aucun axiome de ZFC ; elle prolonge les mathématiques classiques en introduisant des objets nouveaux (zéros indexés) avec une algèbre propre. Le lien avec Cantor n'est pas une identité, mais une correspondance formelle : Cantor mesure la quantité infinie, Ghirardini l'information "trop dense" dans le zéro. Cela permet une vision unifiée, reliant maths, logique et cosmologie (e.g., zéro comme mémoire de l'univers).divisionparzero.blogspot.com

En résumé, l'arithmétique des zéros est le "miroir" conceptuel de l'arithmétique cardinale, appliquant les mêmes opérations ensemblistes à des fins duales : taille vs. collapse. Cette symétrie enrichit la théorie des ensembles sans la contredire.