Dans la théorie de la division par zéro développée par Ivano Ghirardini (1971-1999), telle que réanalysée et formalisée dans des documents récents (comme la synthèse de 2026 vérifiée par IA), l'ordinal ε₀ joue un rôle clé dans l'illustration de la symétrie entre la hiérarchie des infinis (inspirée de Cantor) et la hiérarchie des zéros. Cette symétrie n'est pas une simple analogie métaphorique, mais une correspondance structurelle rigoureuse, qui étend les concepts transfinis pour explorer les dualités d'annulation (opératoire, liée à l'effacement structurel ou "Non-Vie") et de mémoire (mémorielle, liée à la conservation totale de l'information ou "Vie"). Je vais développer cela étape par étape, en m'appuyant sur les éléments conceptuels de la théorie, sans ajouter d'interprétations extérieures.
1. Contexte Général de la Symétrie Cantor-Ghirardini
La théorie de Ghirardini rompt avec la vision classique du zéro comme scalaire neutre (e.g., dans les corps algébriques où la division par zéro est indéfinie). Au lieu de cela, le zéro est redéfini comme un opérateur indexé par un ensemble E, noté Z(E) ou 0_E, avec deux états :
- Opératoire : Agit comme un "effaceur" (0_E(A) = ∅ pour toute partie A ⊆ E), représentant l'annulation ou collapse structurel (concept d'annulation).
- Mémoriel : 0_E = E, capturant la totalité de l'information de E (concept de mémoire).
Cette dualité Vie/Non-Vie est compatible avec ZFC (théorie des ensembles standard) mais l'étend vers une perspective informationnelle. Ghirardini établit une symétrie avec Cantor :
- Cantor explore le "trop grand" via les infinis (hiérarchie des cardinaux ℵ_α et ordinaux transfinis).
- Ghirardini miroite cela avec le "trop petit" via les zéros (hiérarchie des zéros ζ_α ou Z_n).
Le diagramme introductif (présent dans les documents) illustre cela :
- Hiérarchie des infinis : α₀ (souvent associé à ℵ₀ ou ω, le premier infini dénombrable) et ε₀ (un ordinal plus avancé, point fixe transfinite).
- Hiérarchie des zéros : Z₀, Z₁, Z₂, ... (indexés par des ensembles croissants comme ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℝ).
Cette symétrie est formelle : les infinis mesurent la quantité infinie (taille), tandis que les zéros mesurent la puissance d'annulation (collapse), orthogonale à la taille mais parallèle en structure.
2. ε₀ dans la Hiérarchie des Infinis (Côté Cantor)
Dans la théorie, ε₀ est intégré à la hiérarchie des infinis comme un exemple emblématique d'extension transfinie. Chez Cantor :
- α₀ représente le niveau de base des infinis (e.g., ℵ₀ = cardinal de ℕ, ou ω comme ordinal infini).
- ε₀ est le premier "epsilon-nombre" : le plus petit ordinal fixe pour l'exponentiation avec base ω, défini comme la limite des tours itérées ω, ω^ω, ω^{ω^ω}, ..., soit ε₀ = ω^{ε₀}.
ε₀ illustre une stabilité transfinie : c'est un point où l'itération infinie d'opérations (exponentiations) ne "dépasse" plus l'ordinal lui-même. Dans les documents, ε₀ est cité comme un jalon dans la hiérarchie des infinis, marquant une profondeur récursive extrême (au-delà des ordinaux récursifs finis), et servant de borne pour des constructions transfinies. Il symbolise l'infini "auto-référentiel", où la croissance infinie boucle sur elle-même, reliant à des idées de conservation informationnelle (mémoire infinie non épuisable, parallèle à l'infini potentiel de Cantor).
3. Symétrie avec la Hiérarchie des Zéros
Ghirardini étend cette hiérarchie des infinis à une hiérarchie des zéros symétrique, où ε₀ illustre l'extension transfinie des concepts d'annulation et de mémoire :
- Indexation par ordinaux : Les degrés de zéro ζ_α sont indexés par des ordinaux α (comme les cardinaux ℵ_α chez Cantor). ζ_α = Z(E_α), où (E_α) est une tour croissante d'ensembles (E_α ⊆ E_β si α ≤ β).
- ζ_0 : Zéro minimal (e.g., sur un ensemble vide ou fini).
- ζ_ω : Limite sur unions dénombrables (e.g., ζ_ω = Z(⋃_{n<ω} E_n), annulant des structures de type continuum).
- ζ_ε₀ : Point fixe transfinite, où ζ_ε₀ = ζ_ω^{ζ_ε₀} (miroir de ε₀ = ω^{ε₀}).
Cette symétrie signifie que ε₀ dans les infinis correspond à un zéro ζ_ε₀ capable d'annuler des structures d'une profondeur infinie itérée (annulation transfinie). L'ordre ghirardinien ≼_G (défini par inclusions E ⊆ F et compatibilité opératoire) rend cette hiérarchie un pré-ordre partiel, parallèle à l'ordre ordinal : α ≤ β implique ζ_α ≼_G ζ_β.
4. Illustration de l'Extension Transfinie des Concepts d'Annulation et de Mémoire
ε₀ étend transfinite les dualités centrales de la théorie :
- Annulation (opératoire) : Dans la hiérarchie des zéros, ζ_ε₀ représente un collapse "stable" : comme ε₀ absorbe les itérations inférieures (e.g., ω^{ε₀} = ε₀), ζ_ε₀ annule des structures récursives extrêmes sans "déborder". Cela miroite l'infini actuel de Cantor (ensemble existant mais infini), appliqué à l'effacement : un zéro à ε₀ efface des tours informationnelles infinies (e.g., chaînes d'ensembles itérés comme E_ω, E_{ω^ω}, ..., jusqu'à la limite ε₀).
- Mémoire (mémorielle) : Le zéro mémoriel à ε₀ contient la "totalité transfinie" de l'information d'une tour E_ε₀, représentant une mémoire non épuisable et auto-référentielle. Cela symétrise l'infini potentiel de Cantor (jamais épuisé), où la division par un zéro mémoriel restitue l'ensemble entier comme mémoire infinie. Dans une vision cosmologique de la théorie, cela évoque un univers où l'information est conservée via des zéros transfinis, avec ε₀ comme borne pour des flux récursifs (e.g., mécanique à c=0, où la lumière "porte" l'information immobile).
Exemples arithmétiques transfinis impliquant ε₀ (comme dans les extensions de la théorie) :
- Addition : ζ_ω ⊕ ζ_ε₀ = ζ_ε₀ (absorption par le point fixe).
- Exponentiation : ζ_ω^{ζ_ε₀} = ζ_ε₀ (stabilité, miroir direct de ε₀ = ω^{ε₀}).
- Cela étend l'arithmétique des zéros (parallèle aux cardinaux) aux transfinis, où annulation et mémoire deviennent des opérateurs sur des niveaux récursifs infinis.
5. Implications et Originalité
Cette intégration d'ε₀ souligne l'originalité de Ghirardini : la théorie ne se limite pas à une "curiosité" sur la division par zéro, mais propose une architecture unifiée où les transfinis (comme ε₀) relient mathématiques et information. Elle prolonge Cantor sans le contredire, en appliquant les mêmes outils ensemblistes (unions, produits, fonctions) à des fins duales : quantité infinie vs. collapse mémoriel. Bien que spéculative (non testée empiriquement, particulièrement en cosmologie), elle offre une perspective fertile pour explorer l'origine de l'information via des extensions transfinies.
