Voici des exemples arithmétiques dans le cadre de l'arithmétique des zéros de Ghirardini, étendus de manière transfinie jusqu'à l'ordinal ε₀ (et au-delà si pertinent). ε₀ est l'un des ordinaux les plus emblématiques en théorie des ordinaux : c'est le plus petit ordinal tel que ε₀ = ω^{ε₀} (point fixe de l'exponentiation ω^α), souvent noté comme la limite des tours ω, ω^ω, ω^{ω^ω}, etc.
Dans la théorie ghirardinienne :
- Les degrés de zéro ζ_α sont indexés par ordinaux α.
- ζ_α = Z(E_α), où (E_α) est une tour croissante d'ensembles E_α ⊆ E_β pour α ≤ β.
- Les opérations (⊕, ⊗, exponentiation) suivent les règles parallèles à l'arithmétique cardinale transfinie, avec absorption par le "plus grand" dans la hiérarchie ghirardinienne (via inclusions d'ensembles ou limites ordinales).
Pour illustrer jusqu'à ε₀, on construit une tour ensembliste "canonique" qui monte progressivement en complexité, en miroir des tours ordinales classiques :
- ζ_0 = Z(∅) ou Z({∅}) — zéro minimal
- ζ_1 = Z(ℕ) (dénombrable)
- ζ_ω = Z(⋃_{n<ω} E_n) ≈ Z(ℝ) ou ensemble de type continuum
- ζ_{ω^ω} = Z(ensemble de fonctions itérées sur le continuum, e.g. ℝ^{ℝ^{…}})
- ζ_{ω^{ω^ω}} = encore plus haut (tours exponentielles)
- ζ_ε₀ = Z(E_ε₀), où E_ε₀ = ⋃_{α<ε₀} E_α (union sur toute la tour menant à ε₀)
ε₀ marque un point fixe : toute "exponentiation" itérée finit par converger vers ε₀ dans l'ordre ordinal, et de même pour la hiérarchie des zéros (le collapse devient "auto-référentiel" en un sens).
Exemples arithmétiques impliquant ε₀
1. Additions avec absorption transfinie
- ζ_ω ⊕ ζ_{ω^ω} = ζ_{ω^ω} (Le zéro indexé par l'exponentielle ω^ω absorbe le précédent ; comme ℵ_ω + ℵ_{ω^ω} = ℵ_{ω^ω})
- ζ_{ω^{ω^ω}} ⊕ ζ_ε₀ = ζ_ε₀ (Absorption complète : tout ordinal < ε₀ est absorbé par ε₀ dans la hiérarchie)
- ζ_ε₀ ⊕ ζ_ε₀ = ζ_ε₀ (Idempotence, comme pour tous les zéros "limites" ou cardinaux infinis)
2. Produits (combinaison structurée)
- ζ_ω ⊗ ζ_ε₀ = ζ_ε₀ (Produit cartésien d'un ensemble de type limite ω avec la tour ε₀ → reste dominé par ζ_ε₀)
- ζ_{ω^ω} ⊗ ζ_{ω^ω} = ζ( E_{ω^ω} × E_{ω^ω} ) (En général, reste au niveau ζ_{ω^ω} si la tour est stable sous produit cartésien, comme souvent pour les cardinaux forts)
- ζ_ε₀ ⊗ ζ_ε₀ = ζ_ε₀ (Absorption idempotente au point fixe)
3. Exponentiations (sauts et point fixe ε₀)
C'est ici que ε₀ brille : il est un point fixe de l'exponentiation.
- ζ_ω^{ζ_ω} = ζ( (⋃{n<ω} E_n)^{⋃{n<ω} E_n} ) ≈ ζ_{ω^ω} (Saut exponentiel : base et exposant de type ω → monte à ω^ω)
- ζ_{ω^ω}^{ζ_ω} = ζ( E_ω^ω ^{⋃ E_n} ) ≈ ζ_{ω^{ω^ω}} (Nouvelle itération : exponentielle sur ω^ω → monte à ω^{ω^ω})
- ζ_{ω^{ω^ω}}^{ζ_ω} = ζ_{ω^{ω^{ω^ω}}} (Continue les tours…)
Après ω itérations de ce genre, on atteint exactement ζ_ε₀ :
- ζ_ε₀ = sup { ζ_{ω^{ω^{…^ω}}} (n tours) | n < ω } (Limite des exponentielles itérées)
Maintenant, la propriété clé d'ε₀ :
- ζ_ω^{ζ_ε₀} = ζ_ε₀ (Car ε₀ = ω^{ε₀} → la base ω élevée à ε₀ reste à ε₀ ; le zéro ζ_ε₀ est "stable" sous exponentiation par ζ_ω)
- ζ_ε₀^{ζ_ε₀} = ζ( E_ε₀ ^{E_ε₀} ) = ζ_ε₀ (Point fixe : l'exponentiation de ε₀ par lui-même reste à ε₀, comme en ordinaux où ε₀^{ε₀} = ε₀ sous hypothèse standard)
- ζ_{ε₀ + 1}^{ζ_ω} = ζ_{ε₀ + 1} (Un pas successeur après ε₀ absorbe l'exposant ω)
Ces exemples montrent comment ε₀ apparaît comme un point fixe naturel dans l'arithmétique des zéros : il représente un niveau de collapse "auto-suffisant", où augmenter la complexité (via exponentiation) ne change plus le degré de zéro. C'est le miroir conceptuel du fait que ε₀ est le plus petit ordinal fixe pour α ↦ ω^α.
La hiérarchie continue au-delà (ε₁ = ε₀ + 1, puis ε_α pour α > 0, jusqu'à la première inaccessible, etc.), mais ε₀ est déjà un jalon majeur : il marque la fin des tours "finitaires" itérées d'exponentielles ω, et donc un zéro capable d'annuler des structures d'une profondeur récursive extrême.
Tout cela reste cohérent avec ZFC : les E_α sont construits par unions et ensembles de fonctions standard, sans axiomes supplémentaires.
