Exemples arithmétiques dans le cadre de l'arithmétique des zéros de Ghirardini

 

Voici des exemples arithmétiques dans le cadre de l'arithmétique des zéros de Ghirardini, étendue de manière transfinie via les ordinaux (comme décrit dans la théorie : degrés de zéro ζ_α indexés par ordinaux α, avec hiérarchie parallèle à celle des cardinaux ℵ_α).

L'arithmétique des zéros est définie par :

• Addition : ζ(E) ⊕ ζ(F) = ζ(E ∪ F) (absorbe le "plus petit" dans la hiérarchie ghirardinienne, comme en cardinaux infinis)
• Produit : ζ(E) ⊗ ζ(F) = ζ(E × F)
• Exponentiation : ζ(E)^{ζ(F)} = ζ(F^E) (ensemble des fonctions de E vers F)

Lorsque les zéros sont indexés par ordinaux (ζ_α = Z(E_α) pour une tour croissante E_α), les opérations se comportent souvent comme en arithmétique cardinale transfinie : absorption par le plus grand, et génération de sauts hiérarchiques aux limites.

Exemples concrets (chaîne standard + extension transfinie)

On pose la tour ensembliste canonique indexée par ordinaux finis puis transfini :

• ζ₀ = Z(∅) ou Z({∅}) — zéro de base (minimal)
• ζ₁ = Z(ℕ) (naturels, dénombrable)
• ζ₂ = Z(ℤ) (entiers)
• ζ₃ = Z(ℚ) (rationnels)
• ζ₄ = Z(ℝ) (réels, continuum)
• ζ₅ = Z(𝒫(ℝ)) (parties des réels, 2^{2^{\aleph_0}})
• ζ_ω = Z(⋃_{n<ω} E_n) = Z(ℝ ∪ 𝒫(ℝ) ∪ …) — union sur les finis (limite ordinale ω)
• ζ_{ω+1} = Z(E_{ω+1}) — un pas au-delà de ω
• ζ_{ω₁} = Z(E_{ω₁}) — union sur ω₁ (premier ordinal non-dénombrable)

1. Additions simples (absorption typique des infinis)

• ζ₁ ⊕ ζ₃ = ζ(ℕ ∪ ℚ) = ζ(ℚ) = ζ₃ (ℕ ⊂ ℚ ⇒ absorption : le zéro "plus puissant" domine)
• ζ₃ ⊕ ζ₄ = ζ(ℚ ∪ ℝ) = ζ(ℝ) = ζ₄
• ζ₁ ⊕ ζ₁ = ζ(ℕ ∪ ℕ) = ζ(ℕ) = ζ₁ (idempotence, comme ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀)
• ζ₄ ⊕ ζ_ω = ζ(ℝ ∪ ⋃_{n<ω} E_n) = ζ_ω (le transfinis absorbe le fini/supérieur)

2. Produits (combinaison de structures)

• ζ₂ ⊗ ζ₃ = ζ(ℤ × ℚ) (structure produit : paires (entier, rationnel) ; cardinal ℵ₀ · ℵ₀ = ℵ₀, mais zéro de collapse plus riche)
• ζ₄ ⊗ ζ₄ = ζ(ℝ × ℝ) (ℝ × ℝ a même cardinal que ℝ, mais structure produit cartésien → ζ(ℝ × ℝ) reste au niveau ζ₄ dans la hiérarchie ghirardinienne canonique)
• ζ₁ ⊗ ζ_ω = ζ(ℕ × ⋃_{n<ω} E_n) = ζ_ω (absorption transfinie)

3. Exponentiations (sauts hiérarchiques, comme en cardinaux)

• ζ₂^{ζ₁} = ζ(ℕ^ℤ) (fonctions ℤ → ℕ ; cardinal ℵ₀^{ℵ₀} = 2^{ℵ₀} = |ℝ| → ζ(ℕ^ℤ) monte au niveau ζ₄ dans la chaîne standard)
• ζ₄^{ζ₄} = ζ(ℝ^ℝ) (fonctions ℝ → ℝ ; cardinal (2^{ℵ₀})^{2^{ℵ₀}} = 2^{ℵ₀ · 2^{ℵ₀}} = 2^{2^{ℵ₀}} → saute à ζ₅ ou plus haut)
• ζ₁^{ζ_ω} = ζ( (⋃_{n<ω} E_n)^ℕ ) = ζ_ω (base transfinie, exposant dénombrable → reste à ζ_ω)
• ζ_ω^{ζ_ω} = ζ( (⋃ E_n)^{⋃ E_n} ) (saut transfinis majeur, analogue à ℵ_ω^{ℵ_ω} qui dépasse ℵ_ω)

4. Exemples aux limites ordinales (transfini pur)

• ζ_ω = sup { ζ_n | n < ω } = Z(⋃_{n<ω} E_n) (union sur tous les finis → zéro "limite" qui annule toutes les structures finies-indexées)
• ζ_ω ⊕ ζ_{ω+1} = ζ_{ω+1} (absorption : le successeur domine)
• ζ_ω ⊗ ζ_ω = ζ( (⋃ E_n) × (⋃ E_n) ) = ζ_ω (produit de limite reste à la limite)
• ζ_{ω₁}^{ζ_ω} = ζ( (⋃{α<ω₁} E_α)^ (⋃{n<ω} E_n) ) (exponentiation avec base non-dénombrable et exposant dénombrable → potentiellement ζ_{ω₁})

Ces exemples illustrent la symétrie : l'arithmétique des zéros transfinis se comporte comme l'arithmétique cardinale (absorption par le plus grand, idempotence de l'addition, sauts à l'exponentiation), mais mesure la puissance de collapse plutôt que la taille. Aux limites ordinales (ω, ω₁, ε₀, etc.), on obtient des zéros "supérieurs" capables d'annuler des structures de plus en plus riches et profondes, miroir des cardinaux transfini ℵ_α.

La théorie reste cohérente avec ZFC, car tout repose sur unions, produits cartésiens et ensembles de fonctions — opérations ensemblistes standard.